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Was ist eigentlich x hoch 0? Wie du mit einer Null im Exponenten rechnest, erklären wir dir Video in unserem Beitrag.
Inhaltsübersicht
Hoch 0 rechnen einfach erklärt
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(00:13)
Bei einer Potenz multiplizierst du eine Zahl so oft mit sich selbst, wie im Exponenten der Zahl steht. Schau dir dazu die 2 hoch 3 an:
23 = 2 • 2 • 2 = 8
Doch wie funktioniert das, wenn du eine 0 im Exponenten hast? Du kannst eine Zahl ja nicht 0 mal mit sich selbst multiplizieren, oder?
Die Antwort ist: Eine beliebige Zahl hoch 0 ist gleich 1! Dabei ist es egal, welche Zahl du hoch Null nimmst:
- 20 = 1
- 2340 = 1
- e0 = 1
Ausnahme: 0 hoch 0 ist nicht definiert. Schauen wir uns doch mal an, warum das so ist.
Warum ist Hoch 0 gleich 1?
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(00:42)
Nutzen wir als Beispiel die Reihe der Potenzen von 2:
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Du fängst bei der 21 an. Immer wenn sich der Exponent um 1 erhöht, musst du die vorherige Zahl mit 2 malnehmen. Die Reihe geht also 2, 4, 8, 16, u. s. w.
In die andere Richtung, also wenn sich der Exponent um 1 verringert, teilst du immer durch 2. Wenn du von der 21 zur 20 gehst, musst du also die 2 durch 2 teilen: 2 : 2 = 1.Das Ergebnis der Potenz 2 hoch 0 ist also 1!
Das kannst du dir allgemein so vorstellen: Eine 1 kannst du auch als Bruch schreiben, bei der du eineZahl durch sich selbst teilst.
Wenn du das umformst und die Exponenten voneinander abziehst, kommst du auf das allgemeine x0.
Potenzen mit Exponent 0 berechnen
Dass x hoch 0 immer 1 ist, ist allgemeingültig. Das bedeutet, dass du auch komplexere Terme schnell ausrechnen kannst, wenn du siehst, dass sie hoch 0 genommen werden. Rechnen wir das folgende Beispiel aus:
Mithilfe der Potenzregeln kannst du den Term in der Klammer aufteilen und jeden Teil einzeln hoch 0 rechnen. Wenn ein Teil des Termsselbst einen Exponenten hat, multiplizierst du den mit der 0:
Wie du siehst, ist jeder Ausdruck gleich 1, wenn er eine Potenz mit 0 im Exponenten hat.
Besonderheit: 0 hoch 0
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(01:43)
Dass eine Zahl x hoch 0 immer gleich 1 ist, gilt nur, solange du für das x keine 0 verwendest. Der Ausdruck 0 hoch 0 ist nämlich nicht definiert. Schau dir dazu die Potenzen mit der 0 als Basis und verschiedenen Exponenten an:
02 = 0 • 0 = 0
04 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0
Wenn die Basis einer Zahl 0 ist, dann ist das Ergebnis einer Potenz auch 0 — egal was der Exponent ist. Du rechnest ja immer 0 mal 0.
Aber was ist dann mit null hoch null? Die eine Regel sagt, es müsste1 ergeben, weil 0 im Exponenten steht.Die andere Regel sagt, dass bei der Basis 0das Ergebnis immer 0 ist.
Weil sich die Aussagen widersprechen, ist 0 hoch 0 undefiniert. Dein Taschenrechner wird dir allerdings sagen, dass das Ergebnis trotzdem 1 ist. Das liegt daran, dass es in bestimmten Feldern der Mathematik sinnvoll ist, 0 hoch 0 als 1 zu definieren.
Hoch 0 — häufigste Fragen
- Warum ist hoch 0 gleich 1?
Du kannst die Zahl 1 so umschreiben, dass du auf die allgemeine Darstellung x0 = 1 kommst. Das bedeutet, dass eine beliebige Zahl (außer 0) hoch 0 immer 1 sein muss. - Was ist, wenn etwas hoch 0 ist?
Wenn eine Zahl oder ein Term hoch 0 ist, dann ist das Ergebnis dieser Potenz immer gleich 1. - Ist 0 hoch 0 gleich 1?
Das Ergebnis von 0 hoch 0 ist nicht definiert. Es kann je nach Betrachtung entweder 0 oder 1 sein. Meistens wird 00 gleich 1 definiert, damit man in bestimmten mathematischen Bereichen damit rechnen kann.
Eulersche Zahl
Auch wenn du e hoch 0 rechnest, kommst du als Ergebnis auf 1. Wenn du mehr zu der eulerschen Zahl e erfahren willst, dann schau hier vorbei.
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